Fsc Part 1 Mathematics (Complete Solution)

Q5
Show that

Show that AAt and AtA are symmetric for any matrix of order 2 x 3.

SOLUTION:

Let     A= 
 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
 
 
AAt=  
 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
 
  
 
a11 a21
a12 a22
a13 a23
 
 
       =  
 
a211 +a212 +a213 a11 a21 +a12 a22 +a13 a33
a11 a21 +a12 a22 +a13 a33 a221 +a222 +a223
 
(AAt)t =
 
a211 +a212 +a213 a11 a21 +a12 a22 +a13 a33
a11 a21 +a12 a22 +a13 a33 a221 +a222 +a223
 

=AAt

Hence AAt is symmetric.

At
 
a11 a21
a12 a22
a13 a23
 
  
 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
 
 
       =  
 
a211 +a221 a11 a12 +a21 a22 a11 a13 +a21 a23
a21 a11 +a22 a21 a212 +a222 a12 a13 +a22 a23
a11 a13 +a21 a23 a12 a13 +a22 a23 a213 +a223
 
(AtA)t =
 
a211 +a221 a21 a11 +a22 a21 a13 a11 +a23 a23
a21 a11 +a22 a21 a212 +a222 a13 a12 +a23 a22
a11 a13 +a21 a23 a12 a13 +a22 a23 a213 +a223
 

=AtA

Hence AtA is symmetric.

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