Fsc Part 1 Mathematics (Complete Solution)

Q9
Find the inverses of the following matrices. Also find their inverses by using row and column operations.

(i)  
 
1 2 -3
0 -2 0
-2 -2 2
 
    

SOLUTION:

lAl= 
 
1 2 -3
0 -2 0
-2 -2 2
 

=1(-4)+2(0)+(-3)(-4)

=-4+0+12

=8

 Cofactors of A =  
 
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
 

Aij=(-1)i+jMij

A11  =  (-1)1+1
 
-2 0
2 2
 
 =(-1)2 (-4-0) =-4
A12  =  (-1)1+2
 
0 0
-2 2
 
 =(-1)3 (0+0) =0
A13  =  (-1)1+3
 
0 -2
-2 -2
 
 =(-1)4 (0-4) =-4
A21  =  (-1)2+1
 
2 -3
-2 2
 
 =(-1)3 (4-6) =2
A22  =  (-1)2+2
 
1 -3
-2 2
 
 =(-1)4 (2-6) =-4
A23  =  (-1)2+3
 
1 2
-2 -2
 
 =(-1)5 (-2+4) =-2
A31  =  (-1)3+1
 
2 -3
-2 0
 
 =(-1)4 (0-6) =-6
A32  =  (-1)3+2
 
1 -3
0 0
 
 =(-1)5 (0+0) =0
A33  =  (-1)3+3
 
1 2
0 -2
 
 =(-1)6 (-2-0) =-2
 Cofactors of A =  
 
-4 0 -4
2 -4 -2
-6 0 -2
 
    Adj.A=(Cofactors of A)t=
 
-4 2 -4
0 -4 0
-4 -2 -2
 
SO,  A-1=
Adj.A
lAl
=
1
8
 
-4 2 -4
0 -4 0
-4 -2 -2
 
=
 
-1/2  1/4 -3/4
0 -1/2 0
-1/2 -1/4 -1/4
 



(ii)  
 
1 2 -2
0 -1 3
1 0 2
 
    

SOLUTION:

lAl= 
 
1 2 -1
0 -1 3
1 0 2
 

=1(-2-0)-2(0-3)-1(0+1)

=1(-2)-2(-3)-1(1)

=-2+6-1

=3

 Cofactors of A =  
 
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
 

Aij=(-1)i+jMij

A11  =  (-1)1+1
 
-1 3
0 2
 
 =(-1)2 (-2-0) =-2
A12  =  (-1)1+2
 
0 3
1 2
 
 =(-1)3 (0-3) =-3
A13  =  (-1)1+3
 
0 -1
1 0
 
 =(-1)4 (0+1) =1
A21  =  (-1)2+1
 
2 -1
0 2
 
 =(-1)3 (4+0) =4
A22  =  (-1)2+2
 
1 -1
1 2
 
 =(-1)4 (2+1) =3
A23  =  (-1)2+3
 
1 2
1 0
 
 =(-1)5 (0-2) =2
A31  =  (-1)3+1
 
2 -1
-1 3
 
 =(-1)4 (6-1) =5
A32  =  (-1)3+2
 
1 -1
0 3
 
 =(-1)5 (3+0) =-3
A33  =  (-1)3+3
 
1 2
0 -1
 
 =(-1)6 (-1-0) =-1
 Cofactors of A =  
 
-2 3 1
-2 3 2
5 -3 -1
 
    Adj.A=(Cofactors of A)t=
 
-2 -4 5
3 3 -3
1 2 -1
 
SO,  A-1=
Adj.A
lAl
=
1
3
 
-2 -4 5
3 3 -3
1 2 -1
 
=
 
-2/3  -4/3 5/3
1 1 -1
1/3 2/3 -1/3
 



(iii)  
 
1 -3  2
2 1 0
0 -1 1
 
    

SOLUTION:

lAl= 
 
1 -3 2
2 1 0
0 -1 1
 

=1(1)+(-3)(-2)+2(-2)

=1+6-4

=3

 Cofactors of A =  
 
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
 

Aij=(-1)i+jMij

A11  =  (-1)1+1
 
1 0
-1 1
 
 =(-1)2 (1-0) =1
A12  =  (-1)1+2
 
2 0
0 1
 
 =(-1)3 (2-0) =-2
A13  =  (-1)1+3
 
2 1
0 -1
 
 =(-1)4 (-2-0) =-2
A21  =  (-1)2+1
 
-3 2
-1 1
 
 =(-1)3 (-3+2) =1
A22  =  (-1)2+2
 
1 2
0 1
 
 =(-1)4 (1-0) =1
A23  =  (-1)2+3
 
1 2
1 0
 
 =(-1)5 (-1-0) =1
A31  =  (-1)3+1
 
-3 2
1 0
 
 =(-1)4 (0-2) =-2
A32  =  (-1)3+2
 
1 2
2 0
 
 =(-1)5 (0-4) =4
A33  =  (-1)3+3
 
1 -3
2 1
 
 =(-1)6 (1+6) =7
 Cofactors of A =  
 
1 -2 -2
1 1 1
-2 4 7
 
    Adj.A=(Cofactors of A)t=
 
1 1 -2
-2 1 4
-2 1 7
 
SO,  A-1=
Adj.A
lAl
=
1
3
 
1 1 -2
-2 1 4
-2 1 7
 
=
 
1/3  1/3 -2/3
-2/3 1/3 4/3
-2/3 1/3 7/3
 

Other Topics

;